Vektor

A. RUANG N-EUCLIDIS

Pertengahan abad ke-17 penggunaan trip bilangan  (a₁, a₂, a₃)  untuk meletakkan titik-titik di dalam ruang R-3  mulai digunakkan secara jelas.  Menjelang akhir abad ke-19 para  ahli matematika dan ahli fisika menyadari bahwa tidak cukup penggunaan trippel dalam pemikiran peletakkan titik-titik dalam suatu ruang berdimensi Rn. Maka dikenal pula kuadrupel bilangan (a₁, a₂, a₃, a₄) untuk pemikiran meletakkan titik-titik di ruang berdimensi  4, kuintupel (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) sebagai titik di dalam ruang berdimensi 5 dan seterusnya.

Walaupun visualisasi geometrik kita tidak bisa lebih dari ruang berdimensi 3, namun kita dapat memperluas banyak pemikiran yang sudah dikenal ssampai melebihi ruang-3 dan bekerja dengan sifat analitik atau sifat numerik dari titik dan vektor dan bukan bekerja pada sifat geometrik.

Definisi

Jika n suatu bilangan bulat positif, maka sebuah tupel-n terorde (ordered n-tupel) adalah urutan dari  n bilangan real (a₁, a₂, …, a_n). Himpunan dari semua tupel-n terorde (ganda-n berurut)  dinamakan ruang berdimensi-n dan dinyatakan dengan Rⁿ.

Sebuah tupel-n terorde (a₁, a₂, …, a_n) dapat dipandang sebagai  ”titik yang diperumum” dan dapat dipandang pula sebagai  ”vektor yang diperumum”.  Sebuah tupel 5 a = (-2, 4, 0, 1, 6) dapat dipandang sebagai sebuah titik di dalam R⁵ atau dapat dipandang sebagai vektor di dalam R⁵.

Definisi

1. Dua vektor u = (u₁, u₂, …,  u_n)  dan v = (v₁, v₂, …,  v_n)  dalam Rⁿ disebut sama  jika  u₁ = v₁, u₂ = v₂,…, u_n = v_n
2. Jumlah u + v didefinisikan sebagai : u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂,…, u_n + v_n)
3. Jika k sembarang skalar, perkalian skalar ku didefinisikan sebagai  ku= (ku₁, ku₂,…, ku_n)
4. Vektor  nol (zero vector) dalam Rⁿ didefinisikan sebagai vektor  0 = (0,0,0,…,0)
5. Jika u = (u₁, u₂, ….,  u_n)  adalah sembarang vektor dalam Rⁿ, maka negatif (atau invers aditif) dari u (-u) didefinisikan sebagai  -u = (-u₁, -u₂, ….,  -u_n)
6. Pengurangan vektor-vektor di dalam Rn v-u = v + (-u), atau dalam komponen-komponennya
7. v – u = v + (-u) = (v₁, v₂, …,  v_n)  – (u₁, u₂, …,  u_n)   = (v₁ - u₁,  v₂ - u₂,  …,  v_n - u_n)

Teorema 1
Jika u  = (u₁,u₂,…,u_n), v  = (v₁,v₂,…,v_n), dan w  = (w₁,w₂,…,w_n) adalah vektor-vektor dalam Rⁿ, dan k serta l adalah skalar, maka :

1. u + v = v + u
2. u + (v + w) = (u + v )+ w
3. u+ 0 =  0 + u = u
4. u + (-u) = 0
5. k(lu) = (kl)u
6. k(u + v) = ku + kv
7. (k + l) u = ku + lu
8. 1 . u = u

Teorema ini memungkinkan kita memanipulasikan vektor di dalam Rⁿ tanpa menyatakn vektor-vektor tersebut dalam komponen-komponennya yang sangat mirip dengan cara memanipulasi bilangan riel.
Contoh soal :
Buktikan bahwa dalam persamaan vektor  x + u = v  berlaku x  =  v – u
Jawab:
x  +  u   =   v
(x  +  u)  +  (-u)  =  v  +  (-u)
x  +  (u  -  u)  =  v  -  u
x  +  0  =  v  -  u
x  =  v  -  u
Definisi
Dua vektor u = (u₁, u₂, …,  u_n)  dan v = (v₁, v₂, …,  v_n)  adalah sebarang vektor di dalam Rⁿ maka perkalian dalam Euclidis (Euclidian inner product)  u.v didefinisikan oleh :
u.v  =  u₁.v₁ +  u₂.v₂ +  …  +  u_n.v_n

Teorema 2
Jika u  = (u₁,u₂,…,u_n), v  = (v₁,v₂,…,v_n), dan w  = (w₁,w₂,…,w_n) adalah vektor-vektor dalam Rⁿ, dan k adalah sebarang skalar, maka :
a.          u . v = v.u
b.         (u + v) . w  =  u.w  +  v.w
c.          (ku) . v  =  k.(u.v)
d.         v . v  ≥  0 Selanjutnya v . v  =  0 jika dan hanya jika v  = 0
Definisi
Norma Euclidis (atau panjang Euclidis) dari sebuah vektor  u = (u₁, u₂, …,  u_n)  di dalam Rⁿ adalah :

Jarak Euclidis di antara titik u  = (u₁,u₂,…,u_n)  dan  v  = (v₁,v₂,…,v_n) di dalam Rⁿ didefinisikan :

B. RUANG VEKTOR UMUM
Definisi:

Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang dapat didefinisikan 2 (dua) operasi yaitu penjumlahan dan perkalian dengan scalar (bilangan riel).

Operasi penambahan adalah sebuah kaidah bahwa setiap pasang benda u dan v di dalam V merupakan penjumlahan elemen u + v. Ini dinamakan jumlah (sum) dari u dan v.

Operasi perkalian scalar adalah sebuah kaidah bahwa setiap scalar k dan setiap benda u di dalam V adalah sebuah elemen ku.  Ini dinamakan kelipatan scalar (scalar multiple) dari u oleh k.

Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w di dalam V oleh semua scalar k dan l maka kita menamakan V sebuah ruang vector (vector space) dan benda-benda di dalam V dinamakan vector.

Beberapa aksioma tersebut adalah sebagai berikut :

1. Jika u dan v adalah benda-benda di dalam V maka u  +  v berada di dalam V (tertutup terhadap penjumlahan)
2. u + v = v + u
3. u + (v + w) = (u + v )+ w
4. Ada sebuah benda 0 di dalam V sehingga u + 0 =  0 + u = u untuk semua u di V
5. Untuk setiap u di dalam V, ada sebuah benda –u didalam V yang dinamakan invers dari u sehingga  u + (-u) = 0
6. Jika k adalah sebarang bilangan riel dan u adalah sebarang benda dalam V maka ku berada di dalam V
7. k(u + v) = ku + kv
8. (k + l) u = ku + lu
9. k(lu) = (kl)u
10. 1 u = u

Teorema 3
Misalkan V adalah sebuah ruang vector, u sebuah vector di dalam V dan k sebuiah skalar, maka :
1.            0 u = 0
2.            k 0 = 0
3.            (-1)  u  =  -u
4.            Jika k u  =  0 maka k  =  0 atau u  =  0
Soal :
Buktikan Teorema 3 no. 1 bahwa :  0 . u  =  0
Jawab
0u  +  0u          =          (0  +  0) . u                              aksioma 8
0u  +  0u          =          0u                                            aksioma 4
Aksioma 5  menyatakan   “ untuk setiap u di dalam V, ada sebuah benda –u didalam V yang dinamakan invers dari u sehingga  u + (-u) = 0”
Maka 0u mempunyai sebuah negative yaitu :  -0u
Kita tambahkan -0u ini kepada kedua sisi persamaan di atas, sehingga :
0u  +  0u                      =          0u
[0u  +  0u]  +  (-0u)     =          0u  +  (-0u)
0u  + [ 0u  +  (-0u)]     =          0u  +  (-0u)                  aksioma 3
0u  +  0                        =          0                                  aksioma 5
0u                                =          0                                  aksioma 4
Terbukti !
Soal :
Buktikan Teorema 3 no. 3 bahwa :  (-1)  u  =  -u
Jawab
Kerjakan sendiri sebagai latihan!
C. SUBRUANG

Jika V adalah ruang vector, maka subhimpunan-subhimpunan tertentu dari V itu sendiri membentuk ruang vector di bawah penambahan vector dan perkalian scalar yang telah didefinisikan pada V.

Definisi:

Sebuah subhimpunan W dari sebuah ruang vector V dinamakan sebuah subruang (subspace) dari V jika W itu sendiri adalah sebuah ruang vector di bawah penambahan dan perkalian scalar yang didefinisikan pada F.

Teorema 4

Jika W adalah sebuah himpunan dari satu atau lebih vector dari sebuah ruang vector V, maka W adalah subruang dari  V sebuah ruang vector V jika dan hanya jika kondisi berikut berlaku :

1.   Jika u dan v adalah vektor-vektor di W, maka u + v berada di dalam W

2.   Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di dalam W, maka ku berada di dalam W

Kondisi (1) dan (2) dalam teorema 4 sering dijelaskan dengan mengatakan bahwa W tertutup di bawah penambahan dan tertutup di bawah perkalian skalar.

Hal ini dapat dibuktikan bahwa jika  W adalah subruang dari V, maka semua aksioma ruang vektor dipenuhi.

Tiap-tiap ruang vektor V mempunyai paling sedikit 2 (dua) subruang. V sendiri adalah sebuah subruang dan himpunan (0) yang terdiri dari vector nol di dalam V adalah sebuah subruang (yang dinamakan subruang nol – zero subspace)

Contoh subruang.

W adalah sebuah sebarang bidang yang ada di ruang R³ melalui titik asal. Misalkan u dan v adalah sebarang vector di dalam W. Maka u + v haruslah terletak pada W karenma u + v adalah diagonal dari parallelogram yang ditentuka dari u dan v. Perkalian skalar k dan u atau ku haruslah terletak pada W karena ku adalah sebuah garis yang melalui u. jadi W adalah subruang dari R³

Tinjaulah sebuah sistem dari m persamaan linier di dalam n bilangan yang tak diketahui.

a₁₁ x₁ +  a₁₂ x₂ +  …  +  a_1n x_n =  b₁

a₂₁ x₁ +  a₂₂ x₂ +  …  +  a₂₁ x_n =  b₂

.

.

.

a_m1 x₁ +  a_m2 x₂ +  …  +  a_mn x_n =  b_n

Dalam notasi matriks dituliskan   A x =  b

Sebuah vector  s = (s₁,  s₂,  …  ,  s_n)  di dalam Rⁿ dinamakan sebuah vector pemecahan (solution vector) dari system tersebut jika :

x₁ =  s₁

x₂ =  s₂

…

x_n =  s_n

adalah pemecahan dari sistem tersebut.

Selanjutnya dapat dipahami bahwa vector pemecahan (solution vector) adalah juga sebuah subruang

Subruang W dalam contoh di atas juga disebut sebagai ruang pemecahan (solution space) dari sistem A x  =  0

D.   KOMBINASI LINIER

Definisi

Sebuah vector w dinamakan kombinasi liner dari vector vektor v₁, v₂, …, v_n jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk

w  =  k₁ v₂ +  k₂ v₂ +  …  +  k_n v_n

Dengan k₁,  k₂,  …,  kn adalah skalar

Contoh Soal :

Tinjaulah vector-vektoir berikut:

u =  (1, 2, -1)

v =  (6, 4, 2)

p =  (9, 2, 7)

q =  (4, -1, 8 )

Buktikan bahwa :

1. p adalah kombinasi linier dari u dan v
2. q adalah bukan kombinasi linier dari u dan v

JAWAB

1. Untuk membuktikan bahwa p adalah kombinasi linier dari u dan v, haruslah ada skalar k₁,  k₂

p =  k₁ u  +  k₂ v

(9, 2, 7)   =   k₁ (1, 2, -1)         +    k₂ (6, 4, 2)

(9, 2, 7)   =   ( k₁, 2 k_1, - k₁)    +    (6 k_2, 4 k_2, 2 k₂)

(9, 2, 7)   =   ( k₁+ 6 k_2, 2 k₁ +  4 k_2, - k₁+   2 k₂)

Berarti bahwa :

9              =             k₁+ 6 k₂

2              =             2 k₁ +  4 k₂

7              =             – k₁+   2 k₂

Dengan memecahkan system ini didapat bahwa :

k₁ =   -3   dan k₂ =   2

Sehingga :  p =  -3 u +  2 v

Kesimpulan :  p adalah kombinasi linier dari u dan v

1. Untuk membuktikan bahwa q apakah merupakan kombinasi linier dari u dan v, haruslah ada skalar k₁,  k_2. Untuk selanjutnya jawaban dikerjakan sendiri sebagai latihan.

Definisi

Jika v₁, v₂, …, v_n adalah vector-vektor di dalam sebuah ruang vektor V dan jika tiap-tiap vektor di dalam V dapat dinyatakn dalam kombinasi linier dari v₁, v₂, …, v_n, maka dikatakn bahwa vektor-vektor ini merentang V.

(Kata merentang dalam istilah lain ditulis membangun atau span)

Contoh 1 :

Vektor-vektor i = (1, 0, 0),  j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) merentang R³ karena tiap-tiap vektor sebarang (a, b, c) di R³ dapat ditulis sebagai

(a, b, c)  =   a i +  b j +  c k

Dan  (a, b, c)  merupakan kjombinasi linier dari  i ,   j dan  k

Contoh 2 :

Polinomial-polinomial 1, x, x²,  …,  xⁿ merentang vektor Pn karena setiap polinomial p di dalam Pn dapat ditulis sebagai

P  =  a₀ +  a₁x  +  a₂x² +  …  +  a_n xⁿ

Dan merupakan kombinasi linier dari 1, x, x²,  …,  xⁿ

Soal :

Tentukan apakah a = (1, 1, 2), b = (1, 0, 1), dan c = (2, 1, 3) merentang di R³

Teorema 5:

Jika dari v₁, v₂, …, v_n, adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang vektor V, maka :

1.            Himpunan W dari semua kombinasi linier dari v₁, v₂, …, v_n adalah sebuah subruang dari V.

2.            W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v₁, v₂, …, v_n di dalam arti bahwa tiap-tiap subruang dari V yang mengandung v₁, v₂, …, v_n harus mengandung W.

Bukti Teorema 5 No. 1

Untuk memperlihatkan bahwa W adalah sebuah subruang dari V, maka kita harus membuktikan bahwa W tertutup di bawah penambahan dan perkalian skalar. Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam W maka :

u  =  c₁ v₁ +  c₂ v₂ +  … +  c_n v_n

v  =  k₁ v₁ +  k₂ v₂ +  … +  k_n v_n

dengan : c₁,  c₂,  … ,  c_n , dan  k₁ k₁, k₂,  … ,k_n adalah skalar.

Maka:

u +  v =  (c₁ v₁ +  c₂ v₂ +  … +  c_n v_n ) +  (k₁ v₁ +  k₂ v₂ +  … +  k_n v_n)

u +  v =  (c₁ + k₁) v₁ +  (c₂ + k₂) v₂ +  …   +  (c_n + k_n) v_n

dan untuk sebarang skalar k

ku =  (kc₁) v₁ +  (kc₂)  v₂ +  …   +  (kc_n ) v_n

Jadi u + v  dank u adalah kombinasi linier dari v₁, v₂, …, v_n dan sebagai konsekuensinya maka u + v dan ku terletak di dalam W. Maka W tertutupo di bawah penambahan dan perkalian skalar.

Bukti Teorema 5 No. 2

Kerjakan sendiri sebagai latihan!

Catatan :

Ruang linier W yang direntang oleh sebuah himpunan dari vector-vektor S = { v₁, v₂, …, v_n} dapat ditulis sebagai :

W  =  lin(S),  atau  W  =  lin{v₁, v₂, …, v_n},  atau W  = span(S)

E. KEBEBASAN LINIER
Jika S = { v₁, v₂, …, v_n}adalah sebuah himpunan vektor.  Vektor –vektor di S dikatakan bebas linier (linearly independent) jika persamaan
k₁ s₁ +k₂ s₃ +…+ k_n s_n =  0
hanya memiliki penyelesaian   k₁ =  k₂ =…= k_n = 0
Jika ada penyelesaian lain untuk nilai k₁, k₂,  …,  k_n selain  0 maka dikatakan vector-vektor di S bergantung linier (linearly dependent)

Contoh 1 :

Vektor-vektor i = (1, 0, 0),  j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1) di dalam R³
Komponen-komponen persamaan vector adalah :
k₁ i +  k₂ j + k₃ k =  0
k₁ (1, 0, 0) + k₂ (0, 1, 0) +  k₃ (0, 0, 1)  =  (0, 0, 0)
Jika diselesaikan, akan di dapatkan bahwa :   k₁ =  0,  k₂ =  0   dan k₃ = 0
Kesimpulan :
Himpunan S = {I, j, k} adalah bebas linier (linearly independent)
Contoh 2 :

Himpunan Vektor-vektor  S = { v₁, v₂, v₃} dengan :
v₁ = (-2, -1, 0, 3),  v₂ = (1, 2, 5, -1) dan v₃ = (7, -1, 5,8) di dalam R⁴
Komponen-komponen persamaan vector adalah :
k₁ v₁ +  k₂ v₂ + k₃ v₃ =  0
k₁ (-2, -1, 0, 3) + k₂ (1, 2, 5, -1)  +  k₃ (7, -1, 5,8) =  (0, 0, 0)
Jika diselesaikan, akan di dapatkan bahwa :   k₁ =  3,  k₂ =  1  dan  k₃ = -1
Atau ditulis :  3v₁+  v₂- v₃ =  0
Kesimpulan :
Himpunan S = { v₁, v₂, v₃} bergantung linier (linearly dependent)
Soal Latihan :

1. Polinomial-polinomial p₁ = 1-x, p₂ = 5+3x-2×2 dan p₃ = 1+3x-x2. Tentukan apakah himpunan vektor polinomial S = {p₁, p₂, p₃} bebas linier atau bergantung linier.
2. v₁ = {1, -2, 3},  v₂ = {5, 6, -1} dan v₃ = {3, 2, 1}. Tentukan apakah vektor-vektor tersebut membentuk sebuah himpunan yang bebas linier atau himpunan yang tak bebas linier?

Pemahaman :

1.      Dua buah vektor di dalam R² atau R³ tak bebas linier (bergantung linier) jika dan hanya jika kedua vektor tersebut terletak pada garis yang sama yang melalui titik asal.

2.      Tiga buah vektor v₁, v₂, v₃ di R³ yang membentuk himpunan S = { v₁, v₂, v₃} tak bebas linier jika dan hanya jika ketiga vector tersebut terletak di dalam bidang yang sama yang melalui titik asal jika ketiga vektor tersebut ditempatkan dengan titik-titik permulaannya di titik asal.

3.      Tiga buah vektor v₁, v₂, v₃ di R³ tak bebas linier jika dan hanya jika paling sedikit satu di antara ketiga vector tersebut adalah kombinasi linier dari vector yang lain.

4.      Tiga buah vektor v₁, v₂, v₃ di R³ tak bebas linier jika dan hanya jika paling sedikit satu di antara ketiga vector tersebut berada di dalam ruang yang direntang oleh kedua vektor yang lain. Tetapi ruang yang direntang oleh sebarang 2 vektor di dalam R³ adalah sebuah garis yang melalui titik asal, atau sebuah bidang yang melalui titik asal, atau titik asal itu sendiri.

Teorema 6:
Misalkan S = { v₁, v₂, v₃} Jika dari v₁, v₂, …, v_n, adalah sebuah himpunan vektor-vektor di dalam Rⁿ Jika r > n maka S tak bebas linier atau bergantung linier.
Teorema ini mengatakan pada kita bahwa sebuah himpunan di dalam R² dengan lebih dari dua vektor adalah sebuah himpunan yang tak bebas linier.  Sebuah himpunan di R³ dengan lebih dari 3 vektor adalah sebuah himpunan yang tak bebas linier.
F. BASIS

Definisi:
Jika V adalah sebarang ruang vector dan S ={v₁, v₂, v₃, …, v_n } adalah sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor di dalam V, maka S dinamakan sebuah basis untuk V jika :
1.  S bebas linier
2.  S membangun  (merentang = span) V
Contoh 1:
Misalkan
e₁ = (1, 0, 0, …, 0),   e₂ = (0, 1, 0, …, 0),
e₃ = (0, 0, 1, …, 0),   e_n = (0, 0, 0, …, 1)
dan  S = { e₁, e₂, e₃, …, e_n}
Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa S adalah sebuah himpunan yang bebas linier di Rⁿ .  Karena setiap vektor v = {v₁, v₂, v₃, …, v_n}  di dalam Rⁿ dapat dituliskan sebagai
v =  v₁ e₁ +  v₂ e₂ +  v₃ e₃ +  …  + v_n e_n , maka S merentang Rⁿ .
Karena S bebas linier dan S merentang di Rⁿ maka S adalah sebuah basis.
Basisi ini merupakan basis standar  untuk Rⁿ.
Contoh 2
S={e₁, e₂, e₃}  dengan
e₁=(1, 0, 0),
e₂ =(0, 1, 0),   dan
e₃ =(0, 0, 1)
Maka  S={e₁, e₂, e₃}  adalah  basis di R³
Contoh 3
B={p₁,  p₂,  p₃}  dengan
p₁ =1,
p₂ =x,  dan
p₃ =x²
Maka B={p₁,  p₂,  p₃} basis polinom berderajat maksimal 2 .

Soal :
Misalkan v₁ = (1, 2, 1), v₂ = (2, 9, 0) dan v₃ = (3, 3, 4).  Buktikan bahwa    S = (v₁, v₂, v₃) adalah sebuah basis untuk R³

JAWAB

Untuk memperlihatkan bahwa S merentang di R³ maka kita harus memperlihatkan bahwa sebuah vektor sebarang b = (b₁, b₂, b₃) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier.
Ditulis :
b = k₁v₁ + k₂v₂ + k₃v₃
(kita sebut sebagai sitem 1-A)
(b₁, b₂, b₃)  = k₁ (1, 2, 1)  +  k₂ (2, 9, 0)   +  k₃ (3, 3, 4)
(b₁, b₂, b₃)  =  (k₁, 2k₁, k₁)  +  (2 k₂, 9k₂, 0)   +  (3k₃, 3k₃, 4k₃)
(b₁, b₂, b₃)  =  (k₁ + 2 k₂ + 3k₃,   2k₁ + 9k₂ + 3k₃,    k₁ + 4k₃)
Dapat ditulis :
k₁ +   2 k₂ +   3k₃ =   b₁
2k₁ +   9k₂ +   3k₃ =   b₂
k₁ + 0      +   4k₃ =   b₃
(kita sebut sebagai sitem 1-B)

Sehingga :

1. Untuk memperlihatkan bahwa S merentang V maka kita harus memperlihatkan bahwa sitem 1-B terebut mempunyai sebuah pemecahan untuk semua pilihan b = (b₁, b₂, b₃)
2. Untuk membuktikan bahwa S bebas linier kita harus memperlihatkan bahwa satu-satunya pemecahan dari :

k₁v₁ + k₂v₂ + k₃v₃ =  0
(kita sebut sebagai sitem 1-C)
adalah semua k = 0    (ditulis k₁ = k₂ = k₃ =  0)
Sistem 1-C jika kita nyatakan dalam komponen-komponen ditulis :
k₁ +   2 k₂ +   3k₃ =   0
2k₁ +   9k₂ +   3k₃ =   0
k₁ + 0     +   4k₃ =   0                     (kita sebut sebagai sitem 1-D)
Pembuktian S bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa sistem 1-D yang homogen hanya mempunyai pemecahan trivial (pemecahan dengan solusi sama dengan 0)
Menurut Teorema 13 tentang matriks kita dapat membuktikan point 1 dan point 2  (S merentang V dan S bebas linier) cukup dengan memperlihatkan bahwa matriks koefisien A dapat dibalik. Matriks koefisien A adalah :

Matriks A dapat dibalik jika determinan A ≠  0

Kesimpulan :  karena A dapat dibalik maka S sebuah basis untuk R³
Catatan :
Teorema 13 tentang matriks dalam bagian matriks menyatakan :
Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen satu dengan yang lainnya.
a. A dapat dibalik
b. A . X  =  0  hanya mempun yai pemecahan trivial
c. A ekivalen baris kepada In
d. A . X  =  B konsisten untuk tiap-tiap matriks B yang berukuran n x 1
Contoh 4 :
Misalkan :

Buktikan bahwa himpunan S = (M₁, M₂, M₃, M₄) adalah sebuah basis untuk ruang vektor matrik ordo 2×2 atau matriks M₂₂
JAWAB
Ambil sembarang matriks ordo 2×2 yaitu :

Sehingga :
a.       Untuk melihat bahwa S merentang M₂₂ perlihatkanlah bahwa sebuah vektor P  dapat ditulis sebagai :

Sehingga S merentang M₂₂
b.      Untuk melihat bahwa S bebas linier maka ditulis :

Sehingga S bebas linier
Teorema 7 :
Jika S = {v₁, v₂, v₃, …, v_n}  adalah sebuah basis untuk sebuah ruang vektor V. Maka tiap-tiap himpunan dengan lebih dari n vektor akan tak bebas linier.



Bukti :
S = {v₁, v₂, v₃, …, v_n}  adalah sebuah basis untuk sebuah ruang vektor V.  Misalkan T = {w₁, w₂, w₃, …, w_m}  adalah sebarang himpunan dari m vector di dalam V dengan m > n.  Kita akan perlihatkan bahwa T tak bebas linier.
Karena S adalah basis maka setiap w_i dapat dinyakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor di dalam S. Ditulis :
w₁ =    a₁₁v₁ + a₂₁ v₂ + … + a_n1 v_n
w₂ =    a₁₂v1 + a₂₂ v₂ + … + a_n2 v_n
w₃ =    a₁₃v1 + a₂₃ v₂ + … + a_n3 v_n
.
.
.
w_m =    a_1mv₁ + a₂₃ v₂ + … + a_nm v_n
Untuk memperlihatkan bahwa T tak bebas linier maka kita harus mencari skalar-skalar k₁, k₂, …, k_m yang tidak semuanya bernilai nol. Sehingga :
k₁ w₁ +  k₂ w₂ +  k₃ w₃ +   …  +  k_m w_m =   0
Dengan mensubstitusi nilai masing-masing w₁, w₂, w₃, …, dan w_m kita dapatkan persamaan :
a₁₁ k₁ + a₁₂ k₂ +   …   +  a_{1 m} k_m =   0
a₂₁ k₁ + a₂₂ k₂ +   …   +  a_{2 m} k_m =   0
a₃₁ k₁ + a₃₂ k₂ +   …   +  a_{3 m} k_m =   0
.
.
.
a_n1 k₁ + a_n2 k₂ +   …   +  a_{n m} k_m =   0
Persamaan terakhir ini mempunyai lebih banyak bilangan yang tak diketahui dari pada persamaan, maka bukti ini sudah lengkap bahwa T tak bebas linier. Teorema 1 tentang matriks menjamin bahwa persamaan di atas ada pemecahan yang tak trivial.
Teorema 8 :
Setiap dua basis untuk sebuah ruang vektor berdimensi berhingga mempunyai banyak vector yang sama.




Bukti:

Misalkan  S = {v₁, v₂, v₃, …, v_n}  dan S’ = {w₁, w₂, v₃, …, w_n}  adalah  dua  basis untuk sebuah ruang vektor Vyang berdimensi berhingga.
Karena S adalah sebuah basis dan S’ adalah sebuah himpunan yang bebas linier maka berdasarkan Teorema 7 berarti  m  ≥  n.
Karena S’ adalah sebuah basis dan S adalah sebuah himpunan yang bebas linier maka berdasarkan Teorema 7 berarti  n  ≥  m.
Karena  m  ≥  n  dan  n  ≥  m  maka kesimpulan :    m  =  n

E. DIMENSI

Dimensi dari sebuah vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor di dalam sebuah basis untuk V.  Catatan, kita mendefinisikan ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.
Contoh 1
S adalah sebuah himpunan yang bebas linier di Rⁿ dengan S = { e₁, e₂, e₃, …, e_n} dan
e₁ = (1, 0, 0, …, 0),   e₂ = (0, 1, 0, …, 0),   e₃ = (0, 0, 1, …, 0),   e_n = (0, 0, 0, …, 1).
S merentang Rⁿ dan S adalah sebuah basis untuk Rⁿ.
Maka Rⁿ. adalah ruang vektor yang berdimensi n.
Contoh 2
Himpunan S={1, x, x², …, xⁿ}  adalah sebuah basis untuk ruang vektor P_n. Himpunan S mengandung n+1 vektor.  Jadi tiap-tiap basis untuk P_n mengandung n+1 vektor.  Dimensi untuk P_n adalah n+1.
Contoh 3
B={p₁,  p₂,  p₃}  dengan
p₁ =1,
p₂ =x,  dan
p₃ =x²
Maka B={p₁,  p₂,  p₃} basis polinom berderajat maksimal dua  dan berdimensi 3.
Soal 1 :

Tentukan sebuah basis dan dimensi untuk ruang pemecahan dari sistem homogen berikut:
2x₁ +     2x₂ –       x₃ +    x₅ =     0
-x₁ –        x₂ +     2x₃ -    3x₄ +    x₅ =     0
x₁ +        x₂ -      2x₃ –     x₅ =    0
x₃ +   x₄ +     x₅ =    0
JAWAB
Diselesaikan dengan eselon baris yang direduksi


Sehingga didapatkan :
x₁ +  x₂ +  x₅ =     0
x₃ +  x₅ =     0
x₄ =    0
Didapatkan :
x₁ =     - x₂ -   x₅
x₃ =     - x₅
x₄ =    0
Maka himpunan pemecahannya :
x₁ =   - s   -   t
x₂ =   s
x₃ =    - t
x₄ =    0
x₅ =    t
Maka vektor-vektor pemecahannya dituliskan :

Ini memperlihatkan bahwa sistem persamaan terdiri dari 2 vektor basis, yaitu v₁ dan v₂ dengan :

Kesimpulan :
Karena v₁ dan v₂ merentang dalam ruang pemecahan system persamaan linier tersebut di atas dan v₁ dan v₂ bebas linier, maka v₁ dan v₂ adalah sebauah basis.
Ruang pemecahan tersebut adalah ruang berdimensi 2.

Teorema 9 :
Jika S = {v₁, v₂, v₃, …, v_n}  adalah sebuah himpunan dari n vektor yang bebas linier di dalam sebuah ruang vektor V yang berdimensi n, maka S adalah sebuah basis untuk V

Jika S = {v₁, v₂, v₃, …, v_n}  adalah sebuah himpunan dari n vektor yang merentang (membangun)  sebuah ruang vektor V yang berdiameter n,   maka S adalah sebuah basis untuk V

Jika S = {v₁, v₂, v₃, …, v_r}  adalah sebuah himpunan dari n vektor yang bebas linier di dalam sebuah ruang vektor V yang berdimensi n dan r < n, , maka S dapat diperbesar menjadi sebuah basis untuk V, yakni ada vektor-vektor v_r+1, …, v_n sehingga {v₁, v₂, v₃, …, v_r+1, …, v_n } adalah sebuah basis untuk V.


TUGAS UJIAN AKHIR PAKET :
(untuk mahasiswa keguruan program studi Pend. Matematika)

Soal 1 : Kombinasi Linier
Diketahui himpunan vektor S = {e₁,e₂, e₃,} dengan e₁ = (1, 0, 1), e₂ = (0, 1, -1) dan e₃ = (1, 1, -1).  Diketahui  vektor  u = (2, 3, -1). Tunjukkan bahwa vektor u dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier vektor-vektor dalam S.

Soal 2 : Bebas Linier & Tak Bebas Linier

Polinomial-polinomial
p₁ = 1 -  x
p₂ = 5 + 3x  -  2x²
p₃ = 1 + 3x  -  x².
Tentukan apakah himpunan vektor polinomial S = {p₁, p₂, p₃} bebas linier atau bergantung linier.

Soal 3 : Basis dan Dimensi

1.         Dimensi adalah ………………………….  (uraikan)
2.         Dim (R³)  =  ……  (tulis nilai atau angka)
3.         Dim (R²)  =  ……   (tulis nilai atau angka)
4.         Demensi matriks ordo 2×2 atau dim(M_2×2 )  =  …..    (nilai atau angka)
5.         Dimensi polinomial berderajat 2 atau dim (P₂)  =  ….  (nilai atau angka)
6.         Dimensi polinomial berderajat n atau dim (P_n)  =  ….  (nilai atau angka)
Soal 4 : Basis dan Dimensi

Tuliskan basis dan dimensi dari dari sub ruang pada bidang: -x + 2y +5z=0.
Petunjuk :

Tulis persamaan x  =  ….
Tulis persamaan y  =  ….
Tulis persamaan z  =  ….
Kemudian tulis dalam persamaan vektor

Tentukan ada berapa vektor basis dan berapa dimensinya.

Contoh Soal dan Jawaban

Ujian Akhir Paket

Soal No. 1
Diketahui himpunan vektor S = {e₁,e₂, e₃,} dengan e₁ = (1,-2,0,3), e₂ = (2,3,0,-1) dan e₃ = (2,-1,2,1).  Diketahui  vektor  u = (3, 9, -4, -2). Tunjukkan bahwa vektor u dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier vektor-vektor dalam S
JAWAB
(3,9,-4,-2)    =    k₁ (1,-2,0,3)  +   k₂ (2,3,0,-1)  +  k₃ (2,-1,2,1)
(3,9,-4,-2)    =    (k₁, -2k₁, 0,  3k₁)  +  (2k₂,  3k₂,  0,  - k₂)  +  (2k₃, -k₃,  2k₃,  k₃)
(3,9,-4,-2)    =    (k₁ + 2 k₂ + 2k₃ ,   -2k₁ +  3k₂ –  k₃,   0 + 0  +  2k₃,  3k₁ -  k₂ +  3k₂ )
3     =     k₁ + 2 k₂ + 2k₃
9     =    -2k₁ +  3k₂ –  k₃
-4    =    2k₃
-2    =    3k₁ -  k₂ +  3k₂
Penyelesaian:
k₁ =1, k₂ = 3 dan k₃ = -2
Jadi :
u =  e₁ +  3e₂ – 2e₃
Kesimpulan :  u adalah kombinasi linier vector-vektor di dalam S
Soal No. 2
Diketahui plinomial-polinomial sebagai berikut :
p₁ = 1 -  x
p₂ = 5 + 3x  -  2x²
p₃ = 1 + 3x  -  x².
Tentukan apakah himpunan vektor polinomial S = {p₁, p₂, p₃}  bebas linier atau bergantung linier


JAWAB
Jika koefisien-koefisien polinomial kita nyatakan dalam a,  b,   dan c
ap₁ + bp₂ + c p₃ =  0
a (1 -  x) + b (5 + 3x  -  2x² ) + c (1 + 3x  -  x²)  =  0
a – ax + 5b + 3bx – 2bx² +  c + 3cx – cx² =  0
– 2bx² – cx² – ax + 3bx + 3cx +  a + 5b  +  c =  0
2bx² + cx² +  ax – 3bx – 3cx -  a – 5b  -  c =  0
2bx² + cx² +  ax – 3bx – 3cx -  a – 5b  -  c =  0
(2b + c) x² +  (a – 3b) x  +  ( -a -  5b  -  c)  =  0
Sehingga :
2b   +   c     =    0
a   –   3b   =    0
-a   -  5b  -  c   =  0
Sistem linier di atas ternyata mempunyai penyelesaian yang tak trivial. Nilai koefisien-koefisien mempunyai nilai :
a = 3,    b  =  -1  dan   c  =  2
Kesimpulan :
3p₁ -   p₂ + 2 p₃ =  0
Polinomial tak bebas linier karena nilai k ≠ 0
Soal No. 3
Isilah pernyataan-pernyataan berikut :
a.  Dimensi (dim) adalah ………………………….  (uraikan)
b.  Dim (R³)  =  ……
c.   Dim (R²)  =  ……
d.   Demensi matriks ordo 2×2 atau dim(M_2×2 )  =  …..
e.   Dimensi aljabar polinomial berderajat 2 atau dim (P₂)  =  ….
f. Dimensi aljabar polinomial berderajat n atau dim (P_n)  =  ….












JAWABAN

a.   Dimensi adalah banyaknya vektor di dalam sebuah basis untuk V
b.   Dim (R³)  =  3 (tiga)
Penjelasan:
Contoh vektor basis yang membangun R³ adalah :
(1, 0, 0),  (0, 1, 0)  dan  (0, 0, 1)
c.  Dim (R²)  =  2 (dua)
Penjelasan:
Contoh vektor basis yang membangun R² adalah :
(1, 0),  dan  (0, 1)
d.   Demensi matriks ordo 2×2 atau dim(M_2×2 )  =  4 (empat)
Penjelasan:
Contoh vektor basis yang membangun M_2×2 adalah :

e.    Dimensi aljabar polinomial berderajat 2 atau dim (P₂)  = 3 (tiga)
Penjelasan:
Bentuk polinomial berderajat 2
ax² +  bx +  c  =  0
vektor basis yang membangun polinomial derajat 2 adalah :  a,  b,  dan c
Maka dimensi polinomoal berderajat dua =  3
f.   Dimensi aljabar polinomial berderajat n atau dim (P_n)  =  n + 1
Penjelasan:
Penjelasan sama dengan point e tersebut di atas.
Maka dimensi polinomoal berderajat n =  n + 1


Soal No. 4
Tuliskan basis dan dimensi dari dari sub ruang pada bidang: -x + 2y +5z=0.
Petunjuk :
Tulis persamaan x  =  ….
Tulis persamaan y  =  ….
Tulis persamaan z  =  ….
Kemudian tulis dalam persamaan vektor
Tentukan ada berapa vektor basis dan berapa dimensinya.
JAWABAN
x   =  2y +5z=0.
y   =  s.
z   =  t.




 
src: http://matematikakusuka.com/?page_id=37